PERSAMAAN TRIGONOMETRI
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang didalamnya memuat perbandingan trigonometri. Persamaan trigonometri ini terbagi dua bentuk, yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bntuk kalimat terbuka, berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.
Terdapat tiga macam rumus perioda yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk ini, yaitu :
(1) sin x = sin α maka x = α + k.360o dan x = (180 – α) + k.360o
(2) cos x = cos α maka x = α + k.360o dan x = – α + k.360o
(3) tan x = tan α maka x = α + k.180o
dimana k adalah bilangan bulat.
Contoh soal.
01. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0o < x ≤ 360o
JAWABAN :
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 60o
maka
2x = 60o + k.360o
x = 30o + k.180o
Untuk k = 0 maka x = 30o + (0)180o = 30o
Untuk k = 1 maka x = 30o + (1)180o = 210o
dan
2x = –60o + k.360o
x = –30o + k.180o
Untuk k = 1 maka x = –30o + (1)180o = 150o
Untuk k = 2 maka x = –30o + (2)180o = 330o
Jadi H = { 30o, 150o , 210o , 330o }
*Tugas 4 (membuat 5 contoh soal)*
Soal 1.
Hitunglah nilai sudut di bawah ini tanpa menggunakan kalkulator.
a. sin 150⁰
b. sin 75⁰ cos 15⁰ - cos 75⁰ sin 15⁰
Jawab
a. sin 150⁰ = sin (60 + 45)⁰
= sin 60⁰ cos 45⁰ + cos 60⁰ sin 45⁰
= (½√3 × ½√2) + (½ × ½√2)
= ¼√6 + ¼√2
= ¼ (√6 + √2)
Jadi, hasil dari sin 150⁰ adalah ¼ (√6 + √2).
b. sin 75⁰ cos 15⁰ - cos 75⁰ sin 15⁰ = sin (75 - 15)⁰
= sin 60⁰
= ½√3
Jadi, hasil dari sin 75⁰ cos 15⁰ - cos 75⁰ sin 15⁰ adalah ½√3.
Soal 2.
Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawab
2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½
Jawab
2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½
Jadi hasil nya 1/2
Soal 3.
Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α
Jawab
sin4 α – sin2 α = (sin2 α)2 – sin2 α
= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)
= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α
= cos4 α – cos2 α
Soal 4.
Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai dari sin p cos q =
Jawab
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6
Soal 5.
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6cm BC=8cm AC=7cm.Nilai cos A adalah=
Jawab
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84
Jawab
sin4 α – sin2 α = (sin2 α)2 – sin2 α
= (1 cos2 α) 2 – (1 cos2 α)
= 1 – 2 cos2 α + cos4 α – 1 + cos2 α
= cos4 α – cos2 α
Soal 4.
Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai dari sin p cos q =
Jawab
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6
Soal 5.
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6cm BC=8cm AC=7cm.Nilai cos A adalah=
Jawab
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84
.